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2019-2020年高二下学期第一次月考 理科数学试题

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2019-2020 年高二下学期第一次月考 理科数 学试题
一.选择题(每个 4 分,共 48 分) 1. 在下列命题中: ①若向量 a, b 共线,则向量 a, b 所在的直线*行; ②若向量 a, b 所在的直线为异面直线,则向量 a, b 一定不共面; ③若三个向量 a, b, c 两两共面,则向量 a, b, c 共面; ④已知是空间的三个向量 a, b, c ,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得

p ? xa ? yb ? zc ;其中正确的命题的个数是
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3





2.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) (





3. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 (A) (



3222 2 3 2 2 2 , ,? ,? , )和( ? 10 5 2 10 5 3222 2 3 2 2 2 , , ,? ,? (C) ( )和( ? 10 5 2 10 5

2 ) ; 2 2 ) ; 2

(B) (

3222 2 , ,? ) ; 10 5 2 32 22 2 ,? , (D) (? ) ; 10 5 2


4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

5 若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于( A

?

19

B

?

8 7

C

8 7

D

19 14

6.已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标*面内的动点,满足 | MN | ? | MP | ?MN ? MP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为 (A) y 2 ? 8 x (B) y 2 ? ?8x (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x ( )

7. 若点 A 的坐标为 (3, 2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点, 点 P 是抛物线上的一动点, 则 PA ? PF 取得最小值时点 P 的坐标是 A. (0,0) B. (1,1) C. (2,2)
1 D. ( ,1) 2





8. 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点,F 是它的焦点, 若 AF , BF , CF 成等差数列,则 A. x1 , x 2 , x3 成等差数列 C. y1 , y 2 , y3 成等差数列 B. x1 , x3 , x 2 成等差数列 D. y1 , y3 , y 2 成等差数列 ( D.3 条 ) ( )

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条

10.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
B.





A.2a

1 2a

C.4a

D.

4 a
( )

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则关系式
y1 y 2 的值一定等于 x1 x 2

A.4p

B.-4p

C.p

2

D.-p

2 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 E、F 分别在 A1D、AC 上,且 A1E= A1D, 3 1 AF= AC,则 3 A.EF 至多与 A1D、AC 之一垂直 B.EF 是 A1D、AC 的公垂线 C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 ( )

二.填空题(每空 4 分,共 16 分) 13. 若空间三点 A(1,5,-2) ,B(2,4,1) ,C(p,3,q+2)共线,则 p=______,q=______。 14. 若向量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 9 j ? k , ,则这两个向量的位置关系是___________ 15 已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______ 16.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件; (1)焦点在 y 轴上; (2)焦点在 x 轴上;

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

(3)抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; (4)抛物线的通径的长为 5;

(5)由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) . 其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号) 三.解答题 17.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

______.

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中点 2

M 的轨迹的方程.(12 分)

18. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥*面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 F 分别是 AD,PC 的中点 (Ⅰ)证明:PC ⊥*面 BEF; (Ⅱ)求*面 BEF 与*面 BAP 夹角的大小。

2 ,E,

19.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于
2

不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直*分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB面积的最大值.(14 分)

20. 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1
(Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到*面 AEC1F 的距离

21.已知点 H(-3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且 满足 HP ? PM ? 0 , PM ? ?

3 MQ . 2

⑴ 当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 G; ⑵ 过点 T(-1,0)作直线 l 与轨迹 G 交于 A、B 两点,若在 x 轴上存在一点 E(x0,0) , 使得 ? ABE 是等边三角形,求 x0 的值.

数学参考答案(理)
一:选择 1---5 AAABC 6---10 BCACC 11---12 B D

1 二:13. 3,2 14. 垂直 15. 15, ? 16(2) , (5) 5
三:解答题(17.18

每题 10 分 19.20.21 每题 12 分)
2

?x ? a 2 17. (10 分)[解析]:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ? ? y ? 2a
消去 a ,得轨迹方程为 x ?

y2 2 ,即 y ? 4 x 4

18.(10 分) 解法一 (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 算在直线分别为 x,y,z

轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形 ABCD 是矩形。 ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点,∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。∴ PC =(2,2 √ 2,-2) BF = (-1,√ 2,1) EF =(1,0, 1) ,∴ PC · BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0, ∴ PC ⊥ BF , PC ⊥ EF ,∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,∴PC⊥*面 BEF (II)由(I)知*面 BEF 的法向量 *面 BAP 的法向量 设*面 BEF 与*面 BAP 的夹角为 θ , 则 ∴ θ=45℃, ∴ *面 BEF 与*面 BAP 的夹角为 45 解法二 (I)连接 PE,EC 在 PA=AB=CD, AE=DE, ∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 ∴BF⊥PC. 又 ,F 是 PC 的中点,

2 19[解析]: (Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y ? 2 px ,



x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 .

设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ,

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, 则 ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a ,

∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得

?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直*分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) ,则由中点坐标公式,得

x3 ?


x1 ? x 2 ? a? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM |2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

∴ | QN |?| QM |?

2 p , ∴ S ?NAB ? | AB | ? | QN |

1 2

?

2 2 p?2p p | AB | ? 2 2

? 2 p2

即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2

20.(12 分) 解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2,0,0), C(0, 4,0), E(2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z)
∵ AEC1F 为*行四边形,

?由AEC1 F为*行四边形 , ?由AF ? EC1得, (?2,0, z ) ? (?2,0,2), ? z ? 2. ? F (0,0,2). ? EF ? (?2,?4,2). 于是 | BF |? 2 6 , 即BF的长为2 6 .
(II)设 n1 为*面 AEC1F 的法向量,

显然n1不垂直于*面 ADF, 故可设n1 ? ( x, y,1)
? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 由? 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? n ? AF ? 0 , ? 1

? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

又CC1 ? (0,0,3),设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到*面 AEC1F 的距离为

d ?| CC1 | cos? ? 3 ?

4 33 4 33 ? . 33 11

21(14 分)解:⑴ 设点 M 的坐标为(x,y)则由 PM ? ? 得 P (0 , ?

3 MQ , 2

y x ) ,及 ( ,0) 2 3
得 (3 , ?

由 HP ? PM ? 0

y 3y ) ? (x , ) ? 0 2 2

…………………3 分

∴ y 2 ? 4 x ,由点 Q 在 x 轴的正半轴上得 x ? 0
2 ∴M 点轨迹 G 方程: y ? 4 x ( x ? 0 )

……………………5 分
2

⑵ 设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,其中 k ? 0 得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0
2 2 2 2

代入 y ? 4 x (1) ……………………6 分

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(1)的两个实数

? 2(k 2 ? 2) ? x1 ? x2 ? ? ∴? k2 ?x x ? 1 ? 1 2
AB 的垂直*分线为: y ? 令 y ? 0 , x0 ?

∴AB 中点坐标为 (

2?k2 2 , ) k k

2 1 2?k2 ? ? (x ? ) , ……………………8 分 k k k2
∴点 E 的坐标为 (

2 ?1 k2

2 ? 1 , 0) k2

因为 ?ABE 为正三角形 ∴ E(

2 3 ? 1 , 0) 到直线 AB 的距离等于 | AB | 2 k 2

…………………10 分

∴ | AB |?

4 1? k 2 2 3 1? k 2 2 1? k 2 2 ? 1 ? k ? ? |k| k2 k2
3 11 , x0 ? . 2 3

……12 分

∴k ? ?

…………………………………………14 分




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