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(京津鲁琼专用)2020版高考数学第三部分教材知识重点再现回顾2函数与导数练*(含解析)

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回顾 2 函数与导数
[必记知识] 1.函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围. ②若已知 f(x)的定义域为[a,b],则 f(g(x))的定义域为不等式 a≤g(x)≤b 的解集;反 之,已知 f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为函数 y=g(x)(x∈[a,b])的值域. (2)常见函数的值域 ①一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为 R.
②二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0):当 a>0 时,值域为???4ac4-a b2,+∞???,当 a<0 时,值 域为???-∞,4ac4-a b2???;
③反比例函数 y=kx(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}.
[提醒] (1)解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则. (2)解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围. 2.函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对 称),都有 f(-x)=-f(x)成立,则 f(x)为奇函数(都有 f(-x)=f(x)成立,则 f(x)为偶函 数). (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数 f(x),如果对于定义域内 的任意一个 x 的值,若 f(x+T)=f(x)(T≠0),则 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期.
[提醒] 判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简 整理,但必须注意使定义域不受影响.
3.函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b], 那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x1)x1--xf( 2 x2)>0?f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x1)x1--xf( 2 x2)<0?f(x)在[a,b]上是减函数.

②若函数 f(x)和 g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数 f(x) 和 g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是增函数;根据同增异减判断复合函数 y=f(g(x))的单调性.
[提醒] 求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用 “与”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.
4.指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点:y=ax(a>0,且 a≠1)恒过(0,1)点; y=logax(a>0,且 a≠1)恒过(1,0)点. (2)单调性:当 a>1 时,y=ax 在 R 上单调递增;y=logax 在(0,+∞)上单调递增; 当 0<a<1 时,y=ax 在 R 上单调递减;y=logax 在(0,+∞)上单调递减. 5.导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义:曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)切点的两大特征:①在曲线 y=f(x)上;②在切线上. 6.利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数 f(x)的定义域; ②求导函数 f′(x); ③由 f′(x)>0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间,由 f′(x)<0 的解集确定函数 f(x) 的单调减区间. (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数 f(x)在区间 M 上单调递增,则 f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数 f(x) 在区间 M 上单调递减,则 f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意:等号不恒成立); ②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间上 存在解集; ③若已知 f(x)在区间 I 上的单调性,区间 I 中含有参数时,可先求出 f(x)的单调区间, 则 I 是其单调区间的子集. [提醒] 已知可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增(减),则 f′(x)≥0(≤0)对? x∈(a, b)恒成立,不能漏掉“=”,且需验证“=”不能恒成立;已知可导函数 f(x)的单调递增(减) 区间为(a,b),则 f′(x)>0(<0)的解集为(a,b). 7.利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域; ②解方程 f′(x)=0;

③判断 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根 x0 两侧的符号变化: 若左正右负,则 x0 为极大值点; 若左负右正,则 x0 为极小值点; 若不变号,则 x0 不是极值点. (2)求函数 f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤 ①求函数 y=f(x)在[a,b]内的极值; ②比较函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大 值,最小的一个是最小值. [提醒] f′(x)=0 的解不一定是函数 f(x)的极值点.一定要检验在 x=x0 的两侧 f′(x) 的符号是否发生变化,若变化,则为极值点;若不变化,则不是极值点.
[必会结论] 1.函数周期性的常见结论 (1)若 f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则函数 f(x)的周期为 2|a|;若 f(x+a)=-f(x)(a≠0), 则函数 f(x)的周期为 2|a|. (2)若 f(x+a)=-f(1x)(a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)的周期为 2|a|;若 f(x+a)= f(1x)(a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)的周期为 2|a|. (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则函数 f(x)的周期为|a-b|. (4)若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 与 x=b(a≠b)对称,则函数 f(x)的周期为 2|b-a|. (5)若函数 f(x)是偶函数,其图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则函数 f(x)的周期为 2|a|. (6)若函数 f(x)是奇函数,其图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则函数 f(x)的周期为 4|a|. 2.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直 线 x=a 对称; (2)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关 于点(a,0)对称; (3)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x=a+2 b对称. 3.三次函数的相关结论 给定三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求导得 f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),则 (1)当 4(b2-3ac)>0 时,f′(x)=0 有两个实数解,即 f(x)有两个极值点;当 4(b2- 3ac)≤0 时,f(x)无极值点. (2)若函数 f(x)的图象存在水*切线,则 f′(x)=0 有实数解,从而 4(b2-3ac)≥0. (3)若函数 f(x)在 R 上单调递增,则 a>0 且 4(b2-3ac)≤0.

[必练*题]

1.函数 f(x)= -x2+9x+10-ln(x2-1)的定义域为(

)

A.[1,10]

B.[1,2)∪(2,10]

C.(1,10]

D.(1,2)∪(2,10]

??-x2+9x+10≥0,

解析:选 D.要使原函数有意义,则?x-1>0,

解得 1<x≤10 且 x≠2,所以函数

??x-1≠1,

f(x)= -x2+9x+10-ln(x2-1)的定义域为(1,2)∪(2,10],故选 D.

2.已知函数 f(x)=?????lf(og22xx,)x,≥01<,x<1,则 f??? 22???的值是(

)

A.0

B.1

C.12

D.-12

解析:选

C.因为

f(x)=???log2x,x≥1,



??f(2x),0<x<1,

0<

22<1,

2>1,所以 f??? 22???=f(

2)

1 =log2 2=2,故选 C.

3.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,a

≠1),若 g(2)=a,则 f(2)等于( )

A.2

15 B. 4

C.147

D.a2

解析:选 B.由题意知 f(-x)+g(-x)=a-x-ax+2,

又 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 所以 g(x)-f(x)=a-x-ax+2. ① 又 g(x)+f(x)=ax-a-x+2. ②

①+②得 g(x)=2, ②-①得 f(x)=ax-a-x,

又 g(2)=a,所以 a=2, 所以 f(x)=2x-2-x,

所以 f(2)=4-14=145,故选 B.

4.若 a>b>0,0<c<1,则( )

A.logac<logbc

B.logca<logcb

C.ac<bc

D.ca>cb

解析:选 B.由 y=xc 与 y=cx 的单调性知,C、D 不正确.因为 y=logcx 是减函数,得 logca <logcb,B 正确.logac=llgg ca,logbc=llgg cb,因为 0<c<1,所以 lg c<0.而 a>b>0,所

以 lg a>lg b,但不能确定 lg a,lg b 的正负,所以 logac 与 logbc 的大小不能确定.

5.函数 f(x)=???x-1x???cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

)

解析:选 D.函数 f(x)=???x-1x???cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)为奇函数,排除选项 A,B;

当 x=π

时,f(π

)=???π

-1 π

???cos

π

=1 π

-π

<0,排除选项

C,故选

D.

6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的导函数为 f′(x),当 x>0 时,f′(x)<f(xx),且

f(-1)=0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(-1,0)

解析:选 B.设 F(x)=f(xx),因为 f(x)为奇函数,所以 F(x)为偶函数.F′(x)=x12[xf′(x)

-f(x)],x>0 时,F′(x)<0,所以 F(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,

F(1)=F(-1)=0,结合 F(x)的图象得 f(x)>0 的解为(-∞,-1)∪(0,1).

7.已知函数 f(x)=2ax-a+3,若? x0∈(-1,1),使得 f(x0)=0,则实数 a 的取值范 围是________.

解析:依题意可得 f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)(2a-a+3)<0,解得 a<-3 或 a

>1.

答案:(-∞,-3)∪(1,+∞) 8.函数 y=ex-x 在区间[-1,1]上的最大值为________.

解析:f′(x)=ex-1,令 f′(x)=0,解得 x=0,又 f(-1)=1e+1,f(1)=e-1,f(0)

=e0-0=1,而 e-1>1e+1>1,所以函数 f(x)=ex-x 在区间[-1,1]上的最大值为 e-1.

答案:e-1

9.设函数 f(x)=g???x2???+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 9x+y-1=0, 则曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为________.

解析:由已知得 g′(1)=-9,g(1)=-8,又 f′(x)=12g′???x2???+2x,所以 f′(2)=12g′(1) +4=-92+4=-12,f(2)=g(1)+4=-4,所以所求切线方程为 y+4=-12(x-2),即 x+2y
+6=0. 答案:x+2y+6=0
10.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f???x+32???=-f(x),且函数 y=f???x-34???为奇
函数,给出以下四个结论: ①函数 f(x)是周期函数;
②函数 f(x)的图象关于点???-34,0???对称; ③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数.
其中正确结论的序号为________(写出所有正确结论的序号).
解析:f(x+3)=f??????x+32???+32???=-f???x+32???=f(x),所以 f(x)是周期为 3 的周期函数,① 正确;函数 f???x-34???是奇函数,其图象关于点(0,0)对称,则 f(x)的图象关于点???-34,0???对称, ②正确;因为 f(x)的图象关于点???-34,0???对称,-34=-x+???- 2 32+x???,
所以 f(-x)=-f???-32+x???,又 f???-32+x???= -f???-32+x+23???=-f(x),所以 f(-x)=f(x),③正确;f(x)是周期函数,在 R 上不可
能是单调函数,④错误.故正确结论的序号为①②③. 答案:①②③




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